Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Definition

Čech-Komplex

Es sei  ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zu  ${}k\in \mathbb {N}$  setzt man

${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,$

und definiert Gruppenhomomorphismen

$\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L},$

durch

${}{\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,,$

wobei man  ${}L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$  gemäß der Ordnung auf ${}I$ schreibt. Der Komplex

${}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,$

heißt Čech-Komplex (zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung).