Čech-Komplex
Es sei
eine
offene Überdeckung
eines
topologischen Raumes
und
eine
Garbe von kommutativen Gruppen
auf
. Zu
setzt man
-
![{\displaystyle {}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c307ab33fa841eaf36fc442b105a5af7bc289c7f)
und definiert Gruppenhomomorphismen
-
durch
-
![{\displaystyle {}{\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4a7c2a2c343a08a6e33d7f5f5359c163c51198)
wobei man
gemäß der Ordnung auf
schreibt. Der Komplex
-
![{\displaystyle {}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abafaa747bb727ecb8a7c105a756f7c4141438e8)
heißt
Čech-Komplex
(zur Garbe
und zur Überdeckung).