Garbe/Gruppen/Exaktheit/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir benennen die Situation mit

${\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}.$

Nach Fakt liegt ein Garbenkomplex genau dann vor, wenn sämtliche Halmabbildungen Komplexe sind. Es sei der Komplex exakt, also

${}\operatorname {bild} \alpha =\operatorname {kern} \beta \,.$

Es sei ${}P\in X$ fixiert und sei ${}s\in {\mathcal {G}}_{P}$ mit ${}\beta _{P}(s)=0$. Dann gibt es eine offene Umgebung ${}U$ von ${}P$ auf der ${}s$ durch einen Schnitt ${}s$ repräsentiert wird und eine kleinere offene Umgebung ${}V\subseteq U$, worauf ${}\beta _{V}(s{|}_{V})=0$ ist. Das Element (wir nennen die Einschränkung wieder ${}s$) ${}s\in {\mathcal {G}}{\left(V\right)}$ gehört also zum Kern von ${}\beta _{V}$ und daher zum (Garben-)Bild von ${}\alpha$. D.h. es gibt eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq V$, auf der ${}s$ im Bild von

$\alpha _{W}\colon {\mathcal {F}}{\left(W\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(W\right)}$

liegt. Daher liegt auch der Keim ${}s$ im Bild von ${}\alpha _{P}$.

Zur bewiesenen Aussage