Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen und ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ einer Untergarbe von Gruppen mit der Quotientengarbe ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Jedes Element ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$ wird repräsentiert durch eine Familie ${}(U_{i},g_{i})$, ${}i\in I$, wobei ${}X=\bigcup _{i\in I}$ eine offene Überdeckung ist und ${}g_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}\right)}$ Schnitte sind mit

   ${}g_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-g_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,,$

   und jede solche Familie liegt ein Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$ fest.

2. Zwei solche Familien ${}(U_{i},g_{i})$ ${}(U_{i},h_{i})$ (also zur gleichen Überdeckung) definieren genau dann das gleiche Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$, wenn

   ${}g_{i}-h_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}\,$

   für alle ${}i$ ist.

3. Zwei Familien ${}(U_{i},g_{i})$ und ${}(V_{j},h_{j})$ definieren genau dann das gleiche Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$, wenn auf einer (jeder) gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu ${}{\mathcal {F}}$ gehören.

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