Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt/Beweis

Beweis

Die hintere Gleichung beruht auf Fakt. Nach Definition ist

$g=\sum _{r=0}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right){\zeta }^r=\sum _{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right){\zeta }^r.$

Daher ist

$\begin{array}{cc}{g}^2& =\left(\sum _{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right){\zeta }^r\right)\left(\sum _{s=1}^{p-1}\left(\frac{s}{p}\right){\zeta }^s\right)\\ & =\sum _{1\le r,s\le p-1}\left(\frac{rs}{p}\right){\zeta }^{r+s}.\end{array}$

Mit der neuen Variablen

$s=rt$

können wir dies als

$\begin{array}{cc}\sum _{1\le r,t\le p-1}\left(\frac{rrt}{p}\right){\zeta }^{r+rt}& =\sum _{1\le r,t\le p-1}\left(\frac{t}{p}\right){\zeta }^{r(1+t)}\\ & =\sum _{1\le r,t\le p-1,t\ne p-1}\left(\frac{t}{p}\right){\zeta }^{r(1+t)}+\sum _{1\le r\le p-1}\left(\frac{-1}{p}\right){\zeta }^0\\ & =\sum _{1\le r,t\le p-1,t\ne p-1}\left(\frac{t}{p}\right){\zeta }^{r(1+t)}+(p-1)\left(\frac{-1}{p}\right).\end{array}$

Für  $t\ne -1$,  also $t$ zwischen $1$ und $p-2$, ist jedenfalls  $\xi ={\zeta }^{1+t}$  auch eine primitive $p$-te Einheitswurzel. Für ein solches fixiertes $t$ ist

$\sum _{1\le r\le p-1}\left(\frac{t}{p}\right){\xi }^r=\left(\frac{t}{p}\right)\sum _{1\le r\le p-1}{\xi }^r=-\left(\frac{t}{p}\right).$

Die obige Summe ist also

$-\sum _{1\le t\le p-2}\left(\frac{t}{p}\right)+(p-1)\left(\frac{-1}{p}\right)=-\sum _{1\le t\le p-1}\left(\frac{t}{p}\right)+p\left(\frac{-1}{p}\right)=p\left(\frac{-1}{p}\right),$

da es nach Fakt gleich viele Quadrate wie Nichtquadrate in ${(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }$ gibt.

Zur bewiesenen Aussage