Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. ${}p$ ist die Summe von zwei Quadraten,  ${}p=x^{2}+y^{2}$  mit  ${}x,y\in \mathbb {Z}$. 
2. ${}p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}p$ ist zerlegbar (nicht prim) in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
4. ${}-1$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
5. Es ist  ${}p=1\mod 4$. 

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