Beweis
(1)
(2). Dies folgt sofort aus
(diese Äquivalenz gilt für alle ganzen Zahlen).
(2)
(3). Die Normdarstellung
-

ist eine Faktorzerlegung in
. Da
und
beide von
verschieden sind, ist
und
ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen
nach Fakt
euklidisch
ist, sind
nach Fakt
prim und unzerlegbar äquivalent.
(3)
(2). Es sei
zerlegbar, sagen wir
mit Nichteinheiten
.
Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen
.
Dann muss
sein.
(3)
(4). Es gilt
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1))/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1,p)\cong (\mathbb {Z} /(p)[X])/(X^{2}+1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c260926e4de24ad6e4cded8ce29dc153fdb4795c)
Dieser Restklassenring ist endlich und somit nach
Aufgabe
genau dann ein Körper, wenn es ein
Integritätsbereich
ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass
prim in
ist
(man kann auch mit
Fakt
schließen).
Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom
ein irreduzibles Polynom in
ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in
besitzen, was bedeutet, dass
kein Quadrat in
ist.
Die Äquivalenz (4)
(5) wurde schon im
Fakt
gezeigt.