Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

(1) (2). Dies folgt sofort aus (diese Äquivalenz gilt für alle ganze Zahlen).

(2) (3). Die Normdarstellung

ist eine Faktorzerlegung in . Da und beide von verschieden sind, ist und ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Fakt euklidisch ist, sind nach Fakt prim und unzerlegbar äquivalent.

(3) (2). Sei zerlegbar, sagen wir mit Nichteinheiten . Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen . Dann muss sein.

(3) (4). Es gilt

Dieser Restklassenring ist endlich und somit Aufgabe genau dann ein Körper, wenn es ein Integritätsbereich ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass prim in ist (man kann auch mit nach Fakt schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom ein irreduzibles Polynom in ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in besitzen, was bedeutet, dass kein Quadrat in ist.

Die Äquivalenz (4) (5) wurde schon im Fakt gezeigt.

Zur bewiesenen Aussage