Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es im zweiten Fall eine Darstellung

${}p=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,$

Wegen

${}p^{2}=N(p)=N(x+y{\mathrm {i} })N(x-y{\mathrm {i} })\,$

haben die beiden Faktoren die Norm ${}p$ und sind deshalb nach Fakt prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.

Zur bewiesenen Aussage