Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es im zweiten Fall eine Darstellung

$p=x^2+y^2=(x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y)$

Wegen

$p^2=N(p)=N(x+y\mathrm{i})N(x-y\mathrm{i})$

haben die beiden Faktoren die Norm $p$ und sind deshalb nach Fakt prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.

Zur bewiesenen Aussage