Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Fakt

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$.

Dann ist der Komplex

$0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Gamma (U,\Omega ){\stackrel {\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(-\right)}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow 0$

von komplexen Vektorräumen exakt. Insbesondere ist der Restklassenraum der holomorphen Differentialformen modulo der exakten Differentialformen isomorph zu ${}{\mathbb {C} }^{n}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen