Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Fakt

Es sei  $G\subseteq ℂ$  ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien  $P_1,\dots ,P_n\in G$  Punkte und  $U=G\setminus \{P_1,\dots ,P_n\}$. 

Dann ist der Komplex

$0⟶ℂ⟶\mathrm{\Gamma }(U,𝒪)\stackrel{d}{⟶}\mathrm{\Gamma }(U,\mathrm{\Omega })\stackrel{{\mathrm{Res}}_{P_i}(-)}{⟶}{ℂ}^n⟶0$

von komplexen Vektorräumen exakt. Insbesondere ist der Restklassenraum der holomorphen Differentialformen modulo der exakten Differentialformen isomorph zu ${ℂ}^n$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen