Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Exponentialkomplex/Differentialformkomplex/Residuum/Fakt

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$.

Dann liegt ein kommtatives Diagramm

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }&{\stackrel {\operatorname {ind} _{-\circ \delta _{i}}(P_{i})}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow =\!\!\!\!\!&&\downarrow dlog\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow \\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,\Omega )&{\stackrel {\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(-\right)}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

von kommutativen Gruppen mit exakten Zeilen vor. Bei der letzten horizontalen Abbildung oben wird eine holomorphe Einheit ${}f$ auf das Windungszahltupel ${}\left(\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{1}}(0),\,\ldots ,\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{n}}(0)\right)$ abgebildet, wobei ${}\delta _{i}$ eine Standardumrundung von ${}P_{i}$ innerhalb von ${}U$ bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen