Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Exponentialkomplex/Differentialformkomplex/Residuum/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildungen sind wohldefiniert, da nach Fakt  (2) die Windungszahltupel stets ganzzahlig sind. Die Kommutativität des dritten Quadrats ergibt sich aus Aufgabe, die Kommutativität des vierten Quadrats folgt aus Fakt in Verbindung mit Fakt, angewendet auf jeden einzelnen Punkt ${}P_{i}$. Die Exaktheit der zweiten Zeile ist Fakt. Die Exaktheit der ersten Zeile in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ ist eine Umformulierung von Fakt  (2). Zum Nachweis der Exaktheit in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }$ sei zunächst ${}f=\exp h$ mit ${}h$ holomorph auf ${}U$. Nach Aufgabe ist die logarithmische Ableitung von ${}\exp h$ gleich ${}h'$ und deren Residuen sind gleich ${}0$, was sich auf die Windungszahlen überträgt. Es sei nun ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }$ derart, dass die Windungszahlen, also die Residuen der logarithmischen Ableitung ${}{\frac {f'}{f}}$, gleich ${}0$ sind. Es ist zu zeigen, dass es eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}U$ gibt mit ${}f=\exp h$. Wegen der Residueneigenschaft und der Exaktheit der zweiten Zeile gibt es eine holomorphe Funktion ${}h$ mit

${}h'={\frac {f'}{f}}\,.$

Es haben dann ${}f$ und ${}\exp h$ die gleiche logarithmische Ableitung. Durch Addition einer Konstanten zu ${}h$ können wir ferner davon ausgehen, dass ${}f$ und ${}\exp h$ in einem bestimmten Punkt ${}Q\in U$ den gleichen Wert besitzen. Dann ist ${}{\frac {\exp h}{f}}$ eine Funktion, deren logarithmische Ableitung gleich ${}0$ ist. Dann ist nach Aufgabe auch die Ableitung von ${}{\frac {\exp h}{f}}$ gleich ${}0$ und wegen der Übereinstimmung in einem Punkt folgt

${}{\frac {\exp h}{f}}=1\,,$

also ${}f=\exp h$. Die logarithmische Ableitung von ${}(z-P_{1})^{k_{1}}\cdots (z-P_{n})^{k_{n}}$ ist ${}{\frac {k_{1}}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {k_{n}}{z-P_{n}}}$ und die zugehörigen Residuen sind ${}k_{1},\ldots ,k_{n}$, deshalb ist die letzte Abbildung oben auch surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage