Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Holomorphe Formen/Modulo exakt/Homologieauswertung/Bijektiv/Aufgabe

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$  ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien  ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$  Punkte und  ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$.  es bezeichne ${}H(U,\Omega )$ den Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf ${}U$ und ${}H(U,\Omega )_{\text{exakt}}$ den Untervektorraum der exakten Differentialformen. Zeige, dass die Abbildung (vergleiche Fakt und Aufgabe)

$\Psi \colon H(U,\Omega )/H(U,\Omega )_{\text{exakt}}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},$

bijektiv ist. Verwende dabei, dass die Homologiegruppe gleich ${}\mathbb {Z} ^{n}$ ist.

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