Gebiet/Komplex-differenzierbar/Betragskonstant/Konstant/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}\vert {f}\vert =0$ ist, so ist die Aussage klar. Sei die Konstante also ${}\neq 0$. Es ist dann

${}f\cdot {\overline {f}}=\vert {f}\vert ^{2}=c\neq 0\,.$

Daher ist ${}{\overline {f}}$ bis auf einen skalaren Faktor die Invertierung von ${}f$ und daher nach Fakt ebenfalls komplex-differenzierbar. Wir schreiben ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen differenzierbaren Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Dabei ist ${}{\overline {f}}=g-{\mathrm {i} }h$. Nach Fakt ist einerseits

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

und andererseits

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)={\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}-{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

für jeden Punkt ${}P\in G$. Aus

${}{\frac {\partial g}{\partial y}}={\frac {\partial h}{\partial x}}=-{\frac {\partial h}{\partial x}}\,$

folgt

${}{\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial y}}=0\,$

und aus

${}{\frac {\partial g}{\partial x}}={\frac {\partial h}{\partial y}}=-{\frac {\partial h}{\partial y}}\,$

folgt

${}{\frac {\partial h}{\partial y}}={\frac {\partial g}{\partial x}}=0\,.$

Dies bedeutet, dass ${}g$ und ${}h$ konstant sind.

Zur bewiesenen Aussage