Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für jedes ${}x$ und jedes ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

{}(x-1){\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)}=x^{n+1}-1\,

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei ${}x\neq 1$ )

{}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.

Für ${}n\rightarrow \infty$ und ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert dies wegen Fakt und Aufgabe gegen

{}{\frac {-1}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}

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