Geordnete Menge/Extremalelemente/Standardbeispiele/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element ${}x\in I$ heißt größtes Element von ${}I$, wenn ${}y\preccurlyeq x$ für jedes ${}y\in I$ gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element ${}x\in I$ heißt kleinstes Element von ${}I$, wenn ${}x\preccurlyeq y$ für jedes ${}y\in I$ gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element ${}x\in I$ heißt maximal (in ${}I$) oder ein maximales Element (von ${}I$), wenn es kein Element ${}y\in I$, ${}y\neq x$, mit ${}x\preccurlyeq y$ gibt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element ${}x\in I$ heißt minimal (in ${}I$) oder ein minimales Element (von ${}I$), wenn es kein Element ${}y\in I$, ${}y\neq x$, mit ${}y\preccurlyeq x$ gibt.

Bei einer total geordneten Menge fallen die Konzepte größtes Element und maximales Element zusammen, im Allgemeinen muss man sie aber sorgfätig unterscheiden. Ein größtes Element ist, wenn es existiert, eindeutig bestimmt und dann auch das einzige maximale Element.

In einer endlichen geordneten Menge gibt es stets maximale und minimale Elemente.

Das abgeschlossene Intervall ${}[0,1]$ besitzt die ${}0$ als kleinstes und die ${}1$ als größtes Element, das offene Intervall ${}]0,1[$ besitzt weder minimale noch maximale Elemente.

In der Menge der natürlichen Zahlen mit der durch die Teilbarkeitrelation gegebenen Ordnung ist ${}1$ das kleinste Element, da die ${}1$ jede Zahl teilt, und die ${}0$ ist das größte Element, da die ${}0$ von jeder Zahl geteilt wird. Auf ${}\mathbb {N} _{\geq 2}$ mit der Teilbarkeitsrelation sind genau die Primzahlen die minimalen Elemente, es gibt keine maximalen Elemente. Bei einer Potenzmenge mit der durch die Inkusion gegebenen Ordnung ist die leere Menge das kleinste Element und die Gesamtmenge das größte Element. Wenn man die leere Menge aus der Potenzmenge herausnimmt, so sind die einelementigen Teilmengen die minimalen Elemente (diese nennt man auch Atome).

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element ${}s\in I$ heißt obere Schranke für ${}J$, wenn ${}y\preccurlyeq s$ für jedes ${}y\in J$ gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element ${}s\in I$ heißt untere Schranke für ${}J$, wenn ${}s\preccurlyeq x$ für jedes ${}x\in J$ gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element ${}s\in I$ heißt Supremum von ${}J$, wenn ${}s$ die kleinste obere Schranke von ${}J$ ist.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element ${}s\in I$ heißt Infimum von ${}J$, wenn ${}s$ die größte untere Schranke von ${}J$ ist.

Für das offene Intervall ${}]0,1[$ ist jede reelle Zahl ${}s\geq 1$ eine obere Schranke und ${}1$ ist das Supremum.