Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition

Lösung des Anfangswertproblems

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Es sei  ${}(t_{0},y_{0})\in U$  vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem Intervall  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$

wenn ${}y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

${}y(t_{0})=y_{0}\,$

gilt.