Gewöhnliche Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Lösung/Fakt/Beweis

Beweis

Da mit $\phi$ auch die Umkehrabbildung ${\phi }^{-1}$ ein Diffeomorphismus ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Es sei also $\alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems zu $F$. Dann gelten nach der Kettenregel für $\phi \circ \alpha$ die Gleichheiten

$\begin{array}{cc}(\phi \circ \alpha )(t)& ={\left(D\phi \right)}_{\alpha (t)}({\alpha }^{\prime }(t))\\ & ={\left(D\phi \right)}_{\alpha (t)}(F(t,\alpha (t)))\\ & ={\left(D\phi \right)}_{{\phi }^{-1}((\phi (\alpha (t))}(F(t,{\phi }^{-1}(\phi (\alpha (t))))\\ & =G(t,(\phi \circ \alpha )(t)).\end{array}$

Ferner gilt

$(\phi \circ \alpha )(t_0)=\phi (\alpha (t_0))=\phi (x_0).$

Zur bewiesenen Aussage