Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

ein Isomorphismus zwischen den endlichdimensionalen reellen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und sei

$F\colon I\times V\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$

ein Vektorfeld auf ${}V$. Es sei ${}G$ das durch

$G(t,y):=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(y)))$

definierte Vektorfeld auf ${}W$.

Dann ist

$\alpha \colon J\longrightarrow V$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$x'=F(t,x){\text{ mit }}x(t_{0})=x_{0},$

wenn ${}\varphi \circ \alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=G(t,y){\text{ mit }}y(t_{0})=\varphi (x_{0})$

ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen