Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt/Beweis

Beweis

Da mit ${}\varphi$ auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ eine lineare Isomorphie ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Es sei also ${}\alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems zu ${}F$. Dann gelten unter Verwendung von Fakt für ${}\varphi \circ \alpha$ die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \alpha \right)}'(t)&=\varphi (\alpha '(t))\\&=\varphi (F(t,\alpha (t)))\\&=(\varphi \circ F)(t,\alpha (t))\\&=(\varphi \circ F\circ (\operatorname {Id} \times \varphi ^{-1}))(t,(\varphi \circ \alpha )(t))\\&=G(t,(\varphi \circ \alpha )(t)).\end{aligned}}$

Ferner gilt

${}(\varphi \circ \alpha )(t_{0})=\varphi (\alpha (t_{0}))=\varphi (x_{0})\,.$

Zur bewiesenen Aussage