Gewöhnliche Differentialgleichungen/Einfache Beispiele/Konstant und ortsunabhängig/Textabschnitt

Beispiel

Wir betrachten ein konstantes Vektorfeld auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, also eine Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto w,$

wobei ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor ist. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass überall und zu jeder Zeit eine konstante Windgeschwindigkeit herrscht. Die Bewegung eines (durch den Wind getragenen) Teilchens muss sich also auf der durch einen Startpunkt und den Richtungsvektor ${}w$ gegebenen Geraden vollziehen. In der Tat besitzt das Anfangswertproblem

$v'=w{\text{ und }}v(t_{0})=P$

die eindeutigezusatz1 (affin-lineare) Lösung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+{\left(t-t_{0}\right)}w,$

wie man durch Ableiten bestätigt.

Beispiel

Wir betrachten ein stetiges ortsunabhängiges Vektorfeld auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, d.h. es sei eine stetige Abbildung

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

auf einem reellen Intervall ${}I$ gegeben, die wir als Vektorfeld

$F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto g(t),$

auffassen. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass zu einem festen Zeitpunkt überall die gleiche Windgeschwindigkeit herrscht, diese sich aber mit der Zeit ändert. Die Bewegungskurven der (durch den Wind getragenen) Teilchen müssen also parallel zueinander sein, also durch eine Ortsverschiebung auseinander hervorgehen. Der Differenzvektor zwischen den Positionen von zwei Teilchen bleibt während des Bewegungsvorgangs erhalten. Die Lösungskurven zu einem Anfangswertproblem

$v'=F(t,v)=g(t){\text{ und }}v(t_{0})=P$

lassen sich einfach berechnen: Die eindeutige Lösung ist die Integralkurve

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+\left(\int _{t_{0}}^{t}g_{1}(s)ds,\int _{t_{0}}^{t}g_{2}(s)ds,\ldots ,\int _{t_{0}}^{t}g_{n}(s)ds\right),$

wobei die ${}g_{i}$ die Komponentenfunktionen von ${}g$ sind.