Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/R^n/Lösungsverfahren/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\beta \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}J\subseteq I$ eine Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems

${}z'=h(t,z):=g(t,a_{1}+zw_{1},\ldots ,a_{n}+zw_{n})\,$

mit

${}\beta (t_{0})=0\,$

und sei

${}\gamma (t):={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t)w\,$

Dann ist nach Fakt  (2)

${}{\begin{aligned}\gamma '(t)&=\beta '(t)w\\&=g(t,a_{1}+\beta (t)w_{1},\ldots ,a_{n}+\beta (t)w_{n})w\\&=F(t,\gamma (t)).\end{aligned}}$

Ferner ist

${}\gamma (t_{0})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t_{0})w={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage