Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Hyperfläche/Lösung/Fakt

Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche

Es sei  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und  ${}Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  ${}c\in \mathbb {R}$,  wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei  ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und sei ${}F$ ein differenzierbares Vektorfeld auf ${}U$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt  ${}P\in Y$  der Vektor ${}F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in ${}P$ an ${}Y$ gehört.

Dann verläuft die Lösung ${}v(t)$ zum Anfangswertproblem zu ${}F$ mit der Anfangsbedingung  ${}v(t_{0})\in Y$  ganz in ${}Y$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen