Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe
Aufgabe.
Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit
multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion
eine rationale Funktion in
ist.
Es sei
,
die zugehörige Fundamentalmasche und
.
Es seien
die Punkte
in
, in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von
vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion
-

wobei
die Ordnung von
in
ist, es sei denn, dass
ist, in diesem Fall ist
die Hälfte der nach
Fakt
geraden Ordnung von
in
. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie
, da
in
die Ordnung
besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte
mit
,
wo die Ordnung
ist. Aus
Fakt
folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist
holomorph und somit nach
Fakt
konstant. Daher ist
,
da

nach Konstruktion dazugehört.