Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Kurve/Universelle Überlagerung/Textabschnitt

Satz

Zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$

ist die Quotientenabbildung

$\pi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$

die universelle Überlagerung des komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$.

Beweis

Dass eine Überlagerung vorliegt, wurde schon in Fakt mitbewiesen. Da ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ einfach zusammenhängend ist, handelt es sich um die universelle Überlagerung.

$\Box$

Die beiden bunten Kreise zeigen die Erzeuger der Fundamentalgruppe.

Korollar

Die Fundamentalgruppe eines komplexen Torus ist

${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

$\Box$