Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Man nennt

${}\operatorname {End} _{}{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie}}\right\}}\,$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von ${}E$.

Lemma

Zu einem komplexen Torus

ist der Endomorphismenring ein Integritätsbereich.

Beweis

Bei der Korrespondenz aus Fakt zwischen Isogenien und Multiplikationen in ${}{\mathbb {C} }$ entsprechen sich auch die Hintereinanderschaltungen und die Summen. Dies gilt insbesondere für ${}\Gamma '=\Gamma$, so dass sich alles innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ abspielt. Es liegt also eine Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ vor.

$\Box$

Der Standardfall ist, dass der Endomorphismenring gleich ${}\mathbb {Z}$ ist und einfach nur aus den Multiplikationen mit ganzen Zahlen im Sinne von Fakt besteht. Es gibt aber auch Fälle, wo der Endomorphismenring größer ist. Wenn ${}\Gamma$ das definierende Gitter ist, so ist die entscheidende Frage, ob es komplexe Zahlen ${}s\notin \mathbb {Z}$ gibt mit ${}s\Gamma \subseteq \Gamma$. Wenn das Gitter in der Form ${}\mathbb {Z} 1+\mathbb {Z} u$ gegeben ist, so muss ${}s$ selbst zu dem Gitter gehören, also ${}s=n+mu$, und es muss

${}su=nu+mu^{2}\in \Gamma \,$

gelten, also ${}mu^{2}\in \Gamma$. D.h. ${}u$ muss eine quadratische Gleichung über ${}\mathbb {Z}$ erfüllen. Daher besteht ein enger Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven über ${}{\mathbb {C} }$ mit „großem“ Endomorphismenring und imaginär-quadratischen Zahlbereichen.

Beispiel

Zum Gitter ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$ gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring der elliptischen Kurve ${}{\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} })$ ist ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

Beispiel

Zum Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${}{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring des komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ ist ${}\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]$.