Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Hinrichtung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}\Gamma _{1}$ und ${}\Gamma _{2}$ streckungsäquivalent mit

${}\Gamma _{2}=s\Gamma _{1}\,$

mit ${}s\in {\mathbb {C} }$. Wie betrachten die Multiplikation mit ${}s$ als lineare Abbildung

$s\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Dieser Gruppenisomorphismus führt ${}\Gamma _{1}$ in ${}\Gamma _{2}$ über. Somit ist ${}\Gamma _{1}$ der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }{\stackrel {s}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{2}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Nach Fakt induziert dies einen Gruppenisomorphismus

$\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Dieser ist stetig und auch (wegen der Kompaktheit oder wegen der Symmetrie der Situation) ein Homöomorphismus. Für einen Punkt ${}Q\in {\mathbb {C} }$ und eine hinreichend kleine Ballumgebung ${}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}=V$, die ${}\Gamma _{1}$ nur einfach trifft, ist

$V\longrightarrow \pi _{1}(V)$

eine komplexe Karte für ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$. Dann kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {s}{\longrightarrow }}&sV&\\\!\!\!\!\!\pi _{1}\downarrow &&\downarrow \pi _{2}\!\!\!\!\!&\\\pi _{1}(V)&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\pi _{2}(sV)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und ${}sV$ ist eine komplexe Karte für ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$. Somit ist ${}\varphi$ mit den komplexen Strukturen verträglich, also holomorph.

Zur bewiesenen Aussage