Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßgleichung/Glattheit/Bemerkung

Die Differentialgleichung

${}(\wp ')^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\,$

aus Fakt heißt Differentialgleichung für die Weierstraßsche Funktion ${}\wp$. Dies sieht schon ziemlich stark wie die Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer Weierstraßform aus.

Wir betrachten die Faktorisierung

${}(\wp ')^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}=4(\wp -e_{1})(\wp -e_{2})(\wp -e_{3})\,$

mit komplexen Zahlen ${}e_{1},e_{2},e_{3}$. Wenn ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$ das Gitter ist, so sind nach Aufgabe die Halbierungspunkte ${}{\frac {v_{1}}{2}},{\frac {v_{2}}{2}},{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}$ die Nullstellen von ${}\wp '$ und damit auch der rechten Seite der obigen Gleichung. Man hat also ${}e_{i}=\wp {\left({\frac {v_{i}}{2}}\right)}$, wenn man ${}v_{3}=v_{1}+v_{2}$ setzt, und die ${}e_{i}$ werden unter ${}\wp$ nur von diesen Halbierungspunkten aus einer halboffenen Fundamentalmasche getroffen. Nach Fakt wird auf der halboffenen Fundamentalmasche jeder Wert ${}w$ von ${}\wp$ zweifach (mit Vielfachheiten gezählt) angenommen. Wenn ${}\wp (z)=w$ ist, so auch ${}\wp (-z)=w$. Dies wenden wir auf ${}w=e_{i}$ an, wo wir ein Urbild, nämlich ${}{\frac {v_{i}}{2}}$ schon kennen. Das andere Urbild stimmt aber, in die Fundamentalmasche verschoben, wieder mit ${}{\frac {v_{i}}{2}}$ überein. Daher sind die ${}e_{i}$ verschieden, was nach Fakt die Glattheit der Kurve bedeutet.