Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßgleichung/Glattheit/Bemerkung

Aus Wikiversity

Die Differentialgleichung

aus Fakt heißt Differentialgleichung für die Weierstraßsche Funktion . Dies sieht schon ziemlich stark wie die Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer Weierstraßform aus.

Wir betrachten die Faktorisierung

mit komplexen Zahlen . Wenn das Gitter ist, so sind nach Aufgabe die Halbierungspunkte die Nullstellen von und damit auch der rechten Seite der obigen Gleichung. Man hat also , wenn man setzt, und die werden unter nur von diesen Halbierungspunkten aus einer halboffenen Fundamentalmasche getroffen. Nach Fakt wird auf der halboffenen Fundamentalmasche jeder Wert von zweifach (mit Vielfachheiten gezählt) angenommen. Wenn ist, so auch . Dies wenden wir auf an, wo wir ein Urbild, nämlich schon kennen. Das andere Urbild stimmt aber, in die Fundamentalmasche verschoben, wieder mit überein. Daher sind die verschieden, was nach Fakt die Glattheit der Kurve bedeutet.