Glatte Varietäten/C/Endlich und etale/Überlagerung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wegen der vorausgesetzten Glattheit sind die Garben der Differentialformen und lokal frei, und ihr Rang ist gleich der (wegen der Flachheit und Endlichkeit gemeinsamen) Dimension von und . Wir betrachten auf die exakte Sequenz

Wegen étale ist dabei , so dass ein surjektiver Garbenhomomorphismus vorliegt. Da beide Garben lokal frei sind und denselben Rang besitzen, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es folgt durch Dualisieren, dass auch die Tangentialabbildung

ein Isomorphismus ist.

Wir gehen nun zu den zugehörigen komplexen Mannigfaltigkeiten und über. Nach der Überlegung von eben ist insbesondere für jeden Punkt die Tangentialabbildung

ein Vektorraum-Isomorphismus, und dieser wird auf geeigneten Karten durch das totale Differential beschrieben. Nach dem Satz über die Umkehrabbildung gibt es daher eine offene Umgebung (in der komplexen Topologie) von , die unter eine Diffeomorphie mit einer offenen Umgebung von induziert. D.h., dass ein lokaler Homöomorphismus vorliegt. Da endlich ist, ist auch eigentlich und daher ist auch eigentlich im Sinne der Topologie, d.h. Urbilder von kompakten Mengen sind wieder kompakt. Daraus folgt insgesamt, dass eine Überlagerung mit endlichen Fasern ist.