Glatte Varietäten/C/Endlich und etale/Überlagerung/Fakt/Beweis
Wegen der vorausgesetzten Glattheit sind die Garben der Differentialformen und lokal frei, und ihr Rang ist gleich der (wegen der Flachheit und Endlichkeit gemeinsamen) Dimension von und . Wir betrachten auf die exakte Sequenz
Wegen étale ist dabei , sodass ein surjektiver Garbenhomomorphismus vorliegt. Da beide Garben lokal frei sind und denselben Rang besitzen, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es folgt durch Dualisieren, dass auch die Tangentialabbildung
ein Isomorphismus ist.
Wir gehen nun zu den zugehörigen komplexen Mannigfaltigkeiten und über. Nach der Überlegung von eben ist insbesondere für jeden Punkt die Tangentialabbildung
ein
Vektorraum-Isomorphismus,
und dieser wird auf geeigneten Karten durch das
totale Differential
beschrieben. Nach
dem Satz über die Umkehrabbildung
gibt es daher eine offene Umgebung
(in der komplexen Topologie)
von , die unter eine Diffeomorphie mit einer offenen Umgebung von induziert. D.h., dass ein
lokaler Homöomorphismus
vorliegt.
Da endlich ist, ist auch
eigentlich
und daher ist auch
eigentlich
im Sinne der Topologie, d.h. Urbilder von kompakten Mengen sind wieder kompakt. Daraus folgt insgesamt, dass eine Überlagerung mit endlichen Fasern ist.