Glatte projektive Kurve/q nach P^1/Konstante/Transformation/Aufgabe

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve mit Funktionenkörper ${}Q(C)=$ und ${}q\in Q(C)$ mit zugehörigem Morphismus

$q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$

Sei ${}a\in K$. Zeige, dass es einen Automorphismus

$\theta \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

derart gibt, dass das Diagramm

${\begin{matrix}C&{\stackrel {q}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\\&\!\!\!\!\!q-a\searrow &\downarrow \theta \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

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