Gradientenfeld/Potential/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}h,g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ Potentiale für das Gradientenfeld, d.h. es gilt

   ${}\operatorname {Grad} \,h=G=\operatorname {Grad} \,g\,.$

   Dann ist

   ${}\operatorname {Grad} \,h-g=G-G=0\,,$

   es ist also zu zeigen, dass das Nullfeld nur die konstanten Funktionen als Potentiale besitzt. Es seien ${}P,Q$ Punkte in ${}U$ und sei ${}\gamma$ ein stetig differenzierbarer Weg, der ${}P$ und ${}Q$ verbindet. Für das Wegintegral zum Nullfeld ${}N$ über ${}\gamma$ und einem Potential ${}f$ gilt nach Fakt

   ${}0=\int _{\gamma }N=f(Q)-f(P)\,,$

   d.h. ${}f$ ist konstant.

2. Nach Fakt besitzt ${}G$ auf ${}S$ ein Potential, sagen wir ${}h$, und ebenso besitzt ${}G$ auf ${}T$ ein Potential, sagen wir ${}g$. Es sei ${}P\in S\cap T$ ein Punkt des Durchschnittes. Wir ersetzen das Potential ${}g$ auf ${}T$ durch das verschobene Potential

   ${}{\tilde {g}}=g+h(P)-g(P)\,.$

   Es ist dann

   ${}{\tilde {g}}(P)=h(P)\,.$

   Da ${}S\cap T$ zusammenhängend ist, unterscheiden sich zwei Potentiale darauf nur um eine Konstante. Daher stimmt das Potential ${}h$, eingeschränkt auf ${}S\cap T$, mit dem Potential ${}{\tilde {g}}$, eingeschränkt auf ${}S\cap T$, überein, da sie in einem Punkt übereinstimmen. Die beiden Potentiale ${}h$ und ${}{\tilde {g}}$ passen also auf der Übergangsmenge ${}S\cap T$ zusammen und definieren daher auf ${}S\cup T$ ein Potential.

Zur gelösten Aufgabe