Gradientenfeld/Potential/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe

1. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine zusammenhängende offene Menge und sei ${}G\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ein Gradientenfeld auf ${}U$. Zeige, dass das Potential zu ${}G$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
2. Es seien ${}S,T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass ${}S\cap T$ zusammenhängend ist. Es sei

   $G\colon S\cup T\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Zeige, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

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