Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jedem Charakter

$\chi :D⟶K^{\times }$

ist die durch

 ${\phi }_{\chi }\left(\sum _{d\in D}{a}_d\right)=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_d$  definierte Abbildung ${\phi }_{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente $a_d\in A_d$ und $a_e\in A_e$ aus

${\phi }_{\chi }(a_d\cdot a_e)=\chi (d+e)a_d\cdot a_e=\chi (d)\cdot \chi (e)a_d\cdot a_e={\phi }_{\chi }(a_d)\cdot {\phi }_{\chi }(a_e),$

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für  $a\in A_0$  (und insbesondere für $a\in K$) ist ferner  ${\phi }_{\chi }(a)=\chi (0)a=a$,  sodass ein $K$-Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere  ${\chi }_1,{\chi }_2\in \mathrm{Char}(D,K)$  gegeben. Für ein homogenes Element  $a_d\in A_d$  ist

$\begin{array}{cc}{\phi }_{{\chi }_1\cdot {\chi }_2}(a_d)& =({\chi }_1\cdot {\chi }_2)(d)\cdot a_d\\ & ={\chi }_1(d)\cdot {\chi }_2(d)\cdot a_d\\ & ={\chi }_1(d)\cdot {\phi }_{{\chi }_2}(a_d)\\ & ={\phi }_{{\chi }_1}({\phi }_{{\chi }_2}(a_d))\\ & =({\phi }_{{\chi }_1}\circ {\phi }_{{\chi }_2})(a_d),\end{array}$

sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

${\phi }_{\chi }\circ {\phi }_{{\chi }^{-1}}={\phi }_{\chi \circ {\chi }^{-1}}={\phi }_1={\mathrm{Id}}_A,$

sodass jedes ${\phi }_{\chi }$ ein $K$-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei  $\chi \ne 1$  gibt es ein  $d\in D$  mit  $\chi (d)\ne 1$.  Nach Voraussetzung ist

$A_d\ne 0,$

sei also $a\in A_d$, $a\ne 0$. Damit ist  ${\phi }_{\chi }(a)=\chi (d)a\ne a$,  da $\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist  ${\phi }_{\chi }\ne {\mathrm{Id}}_A$. 

Zur bewiesenen Aussage