Graduierte endliche Körpererweiterung/Unitär/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Nach Voraussetzung ist . Seien von verschieden und sei ebenfalls . Dann sind und Elemente in und daher besteht die Beziehung mit , die sich durch Multiplikation mit (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu .
(2) folgt direkt aus (1).
(3) ist klar wegen (1).
(4). Sei die Ordnung von . Für ein homogenes Element , , ist daher

Also ist ein annullierendes Polynom. Die Potenzen , , liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben.
(5) folgt aus (3) und (4).

Zur bewiesenen Aussage