Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Textabschnitt

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Definition  

Zu einem Graphen versteht man unter dem chromatischen Polynom die Funktion, die durch

gegeben ist.

Wir werden sehen, dass diese Funktion in der Tat ein Polynom ist, von daher wäre es korrekter, vorläufig von der chromatischen Funktion zu sprechen. Wenn man eine zulässige Färbung mit einer Permutation auf der Farbenmenge verknüpft, so erhält man wieder eine zulässige Färbung. Färbungen, die durch einen solchen Farbenwechsel auseinander hervorgehen, haben zwar die gleichen Eigenschaften, sie werden aber als verschiedene Färbungen gezählt, da ja eine Färbung als eine Abbildung definiert ist.


Beispiel  

Es sei ein Graph mit Knotenpunkten und ohne Kanten. Dann ist das chromatische Polynom gleich . Es ist ja in diesem Fall jede Abbildung

eine zulässige Färbung und somit gibt es nach Fakt zulässige Färbungen mit (höchstens) Farben.



Beispiel  

Es sei ein vollständiger Graph mit Knotenpunkten. Dann ist das chromatische Polynom gleich

Bei Farben gibt es keine zulässige Färbung des vollständigen Graphen. Bei sind nur die injektiven Abbildungen

zulässige Färbungen. Davon gibt es nach Fakt Stück.




Lemma  

Es sei ein Graph und sein chromatisches Polynom.

Dann ist die Anzahl der zulässigen Färbungen von mit genau Farben gleich

Beweis  

Wir betrachten zulässige Färbungen von mit der Farbenmenge . Die in Frage stehende Menge der zulässigen Färbungen mit genau Farben sind dabei die surjektiven Abbildungen. Zu sei die Menge der zulässigen Färbungen in , die nicht treffen. Zu einer Teilmenge ist die Menge der zulässigen Färbungen, die nur Farben aus verwenden. Mit der Siebformel ist

der Übergang zum Komplement ergibt die Behauptung.


Diese drei nichtisomorphen Graphen haben jeweils das chromatische Polynom .



Lemma  

Für das chromatische Polynom gelten die folgenden Aussagen.

  1. Die chromatische Zahl von ist die minimale Zahl mit
  2. Mit gelten die Abschätzungen
  3. Für ist

    Insbesondere ist das chromatische Polynom durch die Werte festgelegt.

Beweis  

(1) ist klar. (2). Die rechte Abschätzung ist klar, da rechts die Anzahl der Färbungen mit Farben überhaupt ohne Zulässigkeitsbedingung steht. Die linke Seite ist klar für . Für . ist die Zahl links nach Fakt die Anzahl der injektiven Abbildungen von nach , und diese sind stets zulässig. (3). Eine zulässige Färbung mit (höchstens) Farben ist eine zulässige Färbung mit genau Farben für ein . Es sei die Anzahl der zulässigen Färbungen mit genau Farben. Dann ist die Anzahl der zulässigen Färbungen mit Farben unter Verwendung von Fakt gleich




Korollar  

Das chromatische Polynom zu einem Graphen mit Knotenpunkten

ist ein normiertes Polynom vom Grad .

Beweis  

Nach Fakt  (3) hat die Funktion für die Form

mit

Diese Ausdrücke sind Polynome in vom Grad , wobei der Grad nur für vorkommt. Jedenfalls ist ein Polynom vom Grad . Nach Fakt  (2) ist der Limes von für gleich , also muss der Leitkoeffizient des Polynoms gleich sein.




Lemma  

Für das chromatische Polynom

gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Es sei eine Kante von mit dem zugehörigen Kontraktionsgraphen . Dann gilt
  2. Bei einer disjunkten Vereinigung von zwei Graphen ist

Beweis  

(1). Sei . Wir zeigen

indem wir die zulässigen Färbungen analysieren. Eine zulässige Färbung von ist eine zulässige Färbung von , bei der auch die Bedingung erfüllt ist. Somit müssen wir zeigen, dass die zulässigen Färbungen von mit den zulässigen Färbungen von entsprechen. Über den surjektiven schwachen Graphhomomorphismus

erhält man aus einer zulässigen Färbung von direkt eine (nichtzulässige) Färbung von mit identischem Wert auf und und damit direkt eine zulässige Färbung auf mit identischem Wert auf und . Diese Gesamtzuordnung ist injektiv. Wenn umgekehrt eine zulässige Färbung

mit gegeben ist, so kann man dies direkt als eine Färbung auf auffassen. Wenn eine Kante von ist, so liegt dieser Kante eine Kante in zugrunde, und daher überträgt sich die Zulässigkeit.

(2). Eine zulässige Färbung auf mit Farben besteht einfach aus einer zulässigen Färbung von und einer zulässigen Färbung von , es gibt darüber hinaus keine weitere Bedingung, da es ja keine Kanten zwischen und gibt. Die Anzahl der zulässigen Gesamtfärbungen ist daher das Produkt der Anzahlen der einzelnen zulässigen Färbungen.