Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Textabschnitt

Definition

Zu einem Graphen ${}G=(V,E)$ versteht man unter dem chromatischen Polynom ${}P_{G}$ die Funktion, die durch

${}P_{G}\left(k\right)={\#{\left\{f:V\rightarrow \{1,\ldots ,k\}\mid f{\text{ zulässige Färbung}}\right\}}}\,$

gegeben ist.

Wir werden sehen, dass diese Funktion in der Tat ein Polynom ist, von daher wäre es korrekter, vorläufig von der chromatischen Funktion zu sprechen. Wenn man eine zulässige Färbung mit einer Permutation auf der Farbenmenge verknüpft, so erhält man wieder eine zulässige Färbung. Färbungen, die durch einen solchen Farbenwechsel auseinander hervorgehen, haben zwar die gleichen Eigenschaften, sie werden aber als verschiedene Färbungen gezählt, da ja eine Färbung als eine Abbildung definiert ist.

Beispiel

Es sei ${}G$ ein Graph mit ${}n$ Knotenpunkten und ohne Kanten. Dann ist das chromatische Polynom gleich ${}X^{n}$. Es ist ja in diesem Fall jede Abbildung

$f\colon V\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$

eine zulässige Färbung und somit gibt es nach Fakt ${}k^{n}$ zulässige Färbungen mit (höchstens) ${}k$ Farben.

Beispiel

Es sei ${}G$ ein vollständiger Graph mit ${}n$ Knotenpunkten. Dann ist das chromatische Polynom gleich

$X(X-1)(X-2)\cdots (X-n+1).$

Bei ${}k\leq n-1$ Farben gibt es keine zulässige Färbung des vollständigen Graphen. Bei ${}k\geq n-1$ sind nur die injektiven Abbildungen

$f\colon V\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$

zulässige Färbungen. Davon gibt es nach Fakt ${}k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)$ Stück.

Lemma

Es sei ${}G$ ein Graph und ${}P_{G}$ sein chromatisches Polynom.

Dann ist die Anzahl der zulässigen Färbungen von ${}G$ mit genau ${}k$ Farben gleich

$\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}P_{G}\left(k-j\right).$

Beweis

Wir betrachten zulässige Färbungen von ${}G$ mit der Farbenmenge ${}\{1,\ldots ,k\}$. Die in Frage stehende Menge der zulässigen Färbungen mit genau ${}k$ Farben sind dabei die surjektiven Abbildungen. Zu ${}\ell \in \{1,\ldots ,k\}$ sei ${}F_{\ell }$ die Menge der zulässigen Färbungen in ${}\{1,\ldots ,k\}$, die ${}\ell$ nicht treffen. Zu einer Teilmenge ${}J\subseteq \{1,\ldots ,k\}$ ist ${}\bigcap _{\ell \in J}F_{\ell }$ die Menge der zulässigen Färbungen, die nur Farben aus ${}\{1,\ldots ,k\}\setminus J$ verwenden. Mit der Siebformel ist

${}{\#\left(\bigcup _{\ell =1}^{k}F_{\ell }\right)}=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}{\binom {k}{j}}P_{G}\left(k-j\right)\,,$

der Übergang zum Komplement ergibt die Behauptung.

$\Box$

Diese drei nichtisomorphen Graphen haben jeweils das chromatische Polynom ${}(x-2)(x-1)^{3}x$.

Lemma

Für das chromatische Polynom gelten die folgenden Aussagen.

1. Die chromatische Zahl von ${}G$ ist die minimale Zahl ${}k\geq 0$ mit

   ${}P_{G}\left(k\right)\geq 1\,.$

2. Mit ${}n={\#\left(V\right)}$ gelten die Abschätzungen

   ${}k(k-1)\cdots (k-n+1)\leq P_{G}\left(k\right)\leq k^{n}\,.$

3. Für ${}k\geq {\#\left(V\right)}+1=n+1$ ist

   ${}P_{G}\left(k\right)=\sum _{j=0}^{n}{\left(\sum _{\ell =j}^{n}(-1)^{\ell -j}{\binom {k}{\ell }}{\binom {\ell }{j}}\right)}P_{G}\left(j\right)\,.$

   Insbesondere ist das chromatische Polynom durch die Werte ${}P_{G}\left(0\right),P_{G}\left(1\right),\ldots ,P_{G}\left(n\right)$ festgelegt.

Beweis

(1) ist klar. (2). Die rechte Abschätzung ist klar, da rechts die Anzahl der Färbungen mit ${}k$ Farben überhaupt ohne Zulässigkeitsbedingung steht. Die linke Seite ist klar für ${}k\leq n$. Für ${}k\geq n$. ist die Zahl links nach Fakt die Anzahl der injektiven Abbildungen von ${}G$ nach ${}\{1,\ldots ,k\}$, und diese sind stets zulässig. (3). Eine zulässige Färbung mit (höchstens) ${}k\geq n+1$ Farben ist eine zulässige Färbung mit genau ${}\ell$ Farben für ein ${}\ell =0,1,\ldots ,n$. Es sei ${}Q(\ell )$ die Anzahl der zulässigen Färbungen mit genau ${}\ell$ Farben. Dann ist die Anzahl der zulässigen Färbungen mit ${}k$ Farben unter Verwendung von Fakt gleich

${}{\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {k}{\ell }}Q(\ell )&=\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {k}{\ell }}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }(-1)^{j}{\binom {\ell }{j}}P_{G}\left(\ell -j\right)\right)}\\&=\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {k}{\ell }}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }(-1)^{\ell -j}{\binom {\ell }{j}}P_{G}\left(j\right)\right)}\\&=\sum _{j=0}^{n}{\left(\sum _{\ell =j}^{n}(-1)^{\ell -j}{\binom {k}{\ell }}{\binom {\ell }{j}}\right)}P_{G}\left(j\right).\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Das chromatische Polynom ${}P_{G}$ zu einem Graphen mit ${}n$ Knotenpunkten

ist ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$.

Beweis

Nach Fakt  (3) hat die Funktion für ${}k\geq n+1$ die Form

${}P_{G}\left(k\right)=\sum _{j=0}^{n}R_{j}P_{G}\left(j\right)\,$

mit

${}R_{j}=\sum _{\ell =j}^{n}(-1)^{\ell -j}{\binom {k}{\ell }}{\binom {\ell }{j}}\,.$

Diese Ausdrücke sind Polynome in ${}k$ vom Grad ${}\leq n$, wobei der Grad ${}n$ nur für ${}\ell =n$ vorkommt. Jedenfalls ist ${}P_{G}\left(k\right)$ ein Polynom vom Grad ${}\leq n$. Nach Fakt  (2) ist der Limes von ${}{\frac {P_{G}\left(k\right)}{k^{n}}}$ für ${}k\rightarrow \infty$ gleich ${}1$, also muss der Leitkoeffizient des Polynoms gleich ${}1$ sein.

$\Box$

Lemma

Für das chromatische Polynom

gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Es sei ${}e\in E$ eine Kante von ${}G$ mit dem zugehörigen Kontraktionsgraphen ${}G/e$. Dann gilt

   ${}P_{G}=P_{G\setminus \{e\}}-P_{G/e}\,.$

2. Bei einer disjunkten Vereinigung von zwei Graphen ${}G=G_{1}\uplus G_{2}$ ist

   ${}P_{G}=P_{G_{1}}\cdot P_{G_{2}}\,.$

Beweis

(1). Sei ${}e=\{u,v\}$. Wir zeigen

${}P_{G\setminus \{e\}}=P_{G}+P_{G/e}\,,$

indem wir die zulässigen Färbungen analysieren. Eine zulässige Färbung von ${}G$ ist eine zulässige Färbung ${}f$ von ${}G\setminus \{e\}$, bei der auch die Bedingung ${}f(u)\neq f(v)$ erfüllt ist. Somit müssen wir zeigen, dass die zulässigen Färbungen von ${}G\setminus \{e\}$ mit ${}f(u)=f(v)$ den zulässigen Färbungen von ${}G/e$ entsprechen. Über den surjektiven schwachen Graphhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow G/e$

erhält man aus einer zulässigen Färbung ${}f$ von ${}G/e$ direkt eine (nichtzulässige) Färbung ${}f\circ \varphi$ von ${}G$ mit identischem Wert auf ${}u$ und ${}v$ und damit direkt eine zulässige Färbung auf ${}G\setminus \{e\}$ mit identischem Wert auf ${}u$ und ${}v$. Diese Gesamtzuordnung ist injektiv. Wenn umgekehrt eine zulässige Färbung

$g\colon G\setminus \{e\}\longrightarrow B$

mit ${}g(u)=g(v)$ gegeben ist, so kann man dies direkt als eine Färbung auf ${}G/e$ auffassen. Wenn ${}d$ eine Kante von ${}G/e$ ist, so liegt dieser Kante eine Kante ${}d'$ in ${}G$ zugrunde, und daher überträgt sich die Zulässigkeit.

(2). Eine zulässige Färbung auf ${}G_{1}\uplus G_{2}$ mit ${}k$ Farben besteht einfach aus einer zulässigen Färbung von ${}G_{1}$ und einer zulässigen Färbung von ${}G_{2}$, es gibt darüber hinaus keine weitere Bedingung, da es ja keine Kanten zwischen ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ gibt. Die Anzahl der zulässigen Gesamtfärbungen ist daher das Produkt der Anzahlen der einzelnen zulässigen Färbungen.

$\Box$