Gruppe/Elementordnung/Z mod d/Aufgabe/Lösung

Wenn $g$ im Bild eines Gruppenhomomorphismus

$\mathbb{Z}/(d)⟶G$

liegt, so liegt $g$ insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung $\le d$ und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von $g$ ebenfalls $\le d$. Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen $d$, für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.

Es sei umgekehrt $d$ die Ordnung von $g$. Der kanonische Gruppenhomomorphismus

$\mathbb{Z}⟶G,n⟼g^n,$

besitzt den Kern $\mathbb{Z}d$. Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb{Z}/(d)⟶G$

und $g$ gehört dabei zum Bild.

Zur gelösten Aufgabe