Gruppe/Lineare Operation/Induzierte Operationen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$. Zeige, dass dadurch in natürlicher Weise die folgenden linearen Operationen induziert sind.

1. Die Operation auf dem ${}k$-ten Produkt von ${}V$ mit sich selbst, also

   $G\times V^{k}\longrightarrow V^{k},\,(\sigma ,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto (\sigma (v_{1}),\ldots ,\sigma (v_{k})).$

2. Die Operation auf dem ${}k$-ten Dachprodukt ${}\bigwedge ^{k}V$, also

   $G\times \bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,$

   die durch ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mapsto \sigma (v_{1})\wedge \ldots \wedge \sigma (v_{k})$ festgelegt ist.

3. Die duale Operation (von rechts) auf dem Dualraum ${}{V}^{*}$, also die Abbildung

   ${V}^{*}\times G\longrightarrow {V}^{*},\,(f,\sigma )\longmapsto f\circ \sigma .$

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