Gruppe/Ordnung/Elementordnung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer endlichen Gruppe ${}G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

${}\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.$

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe.

Dann besitzt jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung.

Die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

sind alle verschieden.

Beweis

Da ${}G$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten

$g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots$

eine Wiederholung geben, sagen wir $g^{m}=g^{n}$ mit $m<n$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${}g^{-m}$ und erhalten

${}g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.$

Also ist die Ordnung von ${}g$ maximal gleich ${}n-m$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.

$\Box$