Gruppen/Exakte Sequenz/Diskrete Topologie/Garbenversion/Aufgabe

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen Gruppen, die wir alle mit der diskreten Topologie versehen. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum ${}X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen (also die lokal konstanten Abbildungen), also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

ebenfalls exakt. Zeige ferner, dass in diesem Fall für jede offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ die Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

exakt ist.

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