Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden Fakt auf  ${}Q=G/\operatorname {kern} \varphi$  und die kanonische Projektion ${}q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H$

mit  ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$,  der surjektiv ist. Sei ${}[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi$ und ${}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist

${}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,$

also  ${}x\in \operatorname {kern} \varphi$.  Damit ist  ${}[x]=e_{Q}$,  d.h. der Kern von ${}{\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage