Gruppenoperation/Integritätsbereich/Fundamentale Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist wegen ${}R^{G}\subseteq R$ klar.
(2). Es sei ${}K=Q(R)$ der Quotientenkörper von ${}R$. Zu jedem ${}\sigma \in G$ setzt sich der Ringautomorphismus ${}f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus ${}{\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}$ fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper ${}Q{\left(R^{G}\right)}$ hat die Form ${}{\frac {f}{g}}$ mit invarianten Elementen ${}f,g\in R^{G}$. Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf ${}K$. Daher gilt ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$.
(4). Die Inklusion ${}R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}$ ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von ${}G$ auf ${}Q(R)$ eingeschränkt auf ${}R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also ${}f\in R$ ist und aufgefasst in ${}Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.

Zur bewiesenen Aussage