Gruppenoperation/Integritätsbereich/Fundamentale Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist wegen  $R^G\subseteq R$  klar.
(2). Es sei  $K=Q(R)$  der Quotientenkörper von $R$. Zu jedem  $\sigma \in G$  setzt sich der Ringautomorphismus $f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus $\frac{f}{g}\mapsto \frac{f\sigma }{g\sigma }$ fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper $Q\left(R^G\right)$ hat die Form $\frac{f}{g}$ mit invarianten Elementen  $f,g\in R^G$.  Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf $K$. Daher gilt  $Q\left(R^G\right)\subseteq (Q(R){)}^G$. 
(4). Die Inklusion  $R^G\subseteq R\cap Q(R{)}^G$  ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von $G$ auf $Q(R)$ eingeschränkt auf $R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also  $f\in R$  ist und aufgefasst in $Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.

Zur bewiesenen Aussage