Gruppenoperation/R,A,B/Tensorprodukt/Invariantenringe/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}A,B$ kommutative ${}R$-Algebren. Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}R,A,B$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Operationen mit den Strukturhomomorphismen verträglich seien.

1. Zeige, dass ${}G$ in natürlicher Weise auf ${}A\otimes _{R}B$ operiert.
2. Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

   $A^{G}\otimes _{R^{G}}B^{G}\longrightarrow {\left(A\otimes _{R}B\right)}^{G}$

   gibt.

3. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass der Ringhomomorphismus aus (2) kein Isomorphismus sein muss.

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