Gruppenoperation/R,A,B/Tensorprodukt/Invariantenringe/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $A,B$ kommutative $R$-Algebren. Es sei $G$ eine Gruppe, die auf $R,A,B$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Operationen mit den Strukturhomomorphismen verträglich seien.

1. Zeige, dass $G$ in natürlicher Weise auf $A{\otimes }_{R}B$ operiert.
2. Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

   $A^G{\otimes }_{R^G}{B}^G⟶{\left(A{\otimes }_{R}B\right)}^G$

   gibt.

3. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass der Ringhomomorphismus aus (2) kein Isomorphismus sein muss.

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