Gruppentheorie/Einführender Abschnitt für Studienanfänger/Textabschnitt

Definition

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt
${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$
Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt
${}g\circ e=g=e\circ g\,.$
Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit
${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Man beachte, dass kein Kommutativitätsgesetz vorausgesetzt wird, sodass man die zweifachen Formulierungen in Teil (2) und (3) benötigt (eine Gruppe, wo zusätzlich die Kommutativität gilt, heißt kommutative Gruppe). Die Symbole ${}\circ$ für die Verknüpfung und ${}e$ für das neutrale Element sind willkürlich gewählt, man könnte sie auch anders nennen. Es ist aber sinnvoll, bei der abstrakten Einführung eine Bezeichnung zu wählen, die intuitiv nicht vorbelastet ist. Eine Bezeichnung wie ${}\cdot$ für die Verknüpfung und ${}1$ für das neutrale Element birgt die Gefahr, dass man sich zu Schlüssen verleiten lässt, die von der Multiplikation von Zahlen her vertraut sind, die aber eventuell für eine beliebige Gruppe nicht gelten müssen.

Die additiven Körperaxiome kann man nun so lesen, dass die Menge ${}K$ zusammen mit dem ausgezeichneten Element ${}0$ und der Addition ${}+$ als Verknüpfung eine Gruppe bildet, die zusätzlich kommutativ ist. Ebenso bildet die Menge ${}K\setminus \{0\}$ (also ganz ${}K$ ohne die ${}0$ ) mit dem neutralen Element ${}1$ (das wegen der expliziten Voraussetzung der Körperaxiome von ${}0$ verschieden ist und daher zu ${}K\setminus \{0\}$ gehört) und der Multiplikation ${}\cdot$ eine (ebenfalls kommutative) Gruppe. Wenn ein Körper ${}K$ vorliegt, so hat man also zugleich zwei Gruppen vorliegen, es ist aber falsch zu sagen, dass ${}K$ auf zweifache Weise eine Gruppe ist, da einerseits ${}K$ mit der Addition und andererseits ${}K\setminus \{0\}$ (und eben nicht ${}K$ ) eine Gruppe mit der Multiplikation bildet.

Weitere Beispiele für Gruppen sind ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ , dagegen ist ${}\mathbb {Z}$ mit der Multiplikation und ebensowenig ${}\mathbb {Z} \setminus \{0\}$ keine Gruppe. Eine Gruppe ist niemals leer, da es ja ein neutrales Element enthalten muss. Die Menge, die nur aus einem einzigen Element besteht, ist mit der einzig darin möglichen Verknüpfung und dem einzig darin möglichen neutralen Element eine Gruppe. Man spricht von der trivialen Gruppe. Eine weitere Gruppe ist die zweielementige Menge

(\{-1,1\},\cdot ,1)

mit der von ${}\mathbb {Z}$ bekannten Multiplikation.

In einer Gruppe ist zu einem Element ${}x\in G$ das Element ${}y$ mit der Eigenschaft ${}x\circ y=e=y\circ x$ (das es aufgrund der Gruppenaxiome geben muss) eindeutig bestimmt. Wenn nämlich ${}y$ und ${}y'$ beide diese Eigenschaft besitzen, so gilt

{}y=y\circ e=y\circ (x\circ y')=(y\circ x)\circ y'=e\circ y'=y'\,.

Man beachte, dass in diesen Beweis die Bedingungen an ${}y$ und ${}y'$ nicht völlig symmetrisch eingehen. Diese Eindeutigkeit erlaubt es, das zu einem Gruppenelement ${}x\in G$ eindeutig bestimmte inverse Element als

x^{-1}

zu bezeichnen.

Im Fall eines Körpers haben wir damit einen einzigen Beweis für die Eindeutigkeit des Negativen (also des Inversen der Addition) und des Inversen der Multiplikation gefunden.

In der Mathematik geht es zu einem beträchtlichen Teil um die Lösung von Gleichungen, und zwar um die Existenz von Lösungen, die Berechnung von Lösungen und die Eindeutigkeit von Lösungen. Bei einer Gruppe besitzen die formulierbaren Einzelgleichungen eine eindeutige Lösung. Insofern handelt es sich bei einer Gruppe um eine besonders einfache mathematische Struktur.