Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Dass jedes Element endliche Ordnung hat, ist klar.

Sei jetzt k = ord(g), also g^k = 1, wobei wir mit 1 jetzt das neutrale Element bezeichnen und sei k minimal mit dieser Eigenschaft (klar). Wir nehmen zum Widerspruch an, es gäbe natürliche Zahlen m,n, m,n<k, o.B.d.A sei m>n, mit g^m = g^n. Dann folgt aus g^m = g^n durch Multiplikation mit g^-n, dass g^m-n = g^n-n = g^0 = 1 wäre, im Widersoruch zur Minimalität von k. (wegen m,n<k ist auch m-n<k)