Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Christoffelsymbole/Geodätische/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Nach Fakt muss eine Geodätische die beiden Bedingungen

${}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)={\frac {2}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$

und

${}\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=-{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}'(t)+{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$

erfüllen. Für ${}\gamma _{1}=x_{0}$ konstant wird dieses System zu

${}\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)={\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$

mit der Komponentenlösung

${}y_{2}(t)=e^{t}\,$

und der Gesamtlösung

${}y(t)=\left(x_{0},\,e^{t}\right)\,,$

die auf einer vertikalen Geraden verläuft. Darüber hinaus sind nach Aufgabe

${}\gamma (t)=\left(s,\,0\right)+r\left(\tanh t,\,{\frac {1}{\cosh t}}\right)\,$

zu ${}s\in \mathbb {R}$, ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ Lösungen, die sich nach Fakt  (3) auf den Halbkreisen mit Mittelpunkt ${}\left(s,\,0\right)$ und Radius ${}r$ bewegen.