Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition

Differenzierbare Abbildung (Halbraum)

Es sei  ${}U\subseteq H$  eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum

${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,$

 ${}P\in U$  sei ein Punkt und es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ differenzierbar in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung  ${}P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  und eine Fortsetzung

${\tilde {\varphi }}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

mit  ${}{\tilde {\varphi }}{|}_{U\cap V}=\varphi {|}_{U\cap V}$  gibt, die in ${}P$ differenzierbar ist.