Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt mit Beweisklappe

Satz (Primelemente in Hauptidealbereichen)

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und  $p\ne 0$  ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

1. $p$ ist ein Primelement.
2. $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. $R/(p)$ ist ein Körper.

Beweis

Die Äquivalenz (1) $\iff$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p=0$), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei  $a\in R/(p)$  von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann  $a\notin (p)$  und es ergibt sich eine echte Idealinklusion  $(p)\subset (a,p)$.  Ferner können wir  $(a,p)=(b)$  schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt  $p=cb$.  Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also  $(a,p)=(1)$,  und das bedeutet modulo $p$, also in $R/(p)$, dass $a$ eine Einheit ist. Also ist $R/(p)$ ein Körper.

$◻$