Hauptteil/Punktiert/Konvergent/Stammfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Dies folgt aus Fakt.
Ohne Einschränkung sei ${}a=0$ , die Laurent-Reihe sei ${}\sum _{n\geq 2}c_{-n}z^{-n}$ . Wir zeigen, dass der natürliche Kandidat ${}\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}z^{-n+1}$ konvergiert und eine Stammfunktion zu ${}f$ ist. Wir schreiben die Ausgangsreihe als ${}\sum _{n\geq 2}c_{-n}w^{n}$ , welche überall konvergiert, und den Kandidaten als ${}\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}w^{n-1}$ mit ${}w=z^{-1}$ . Es konvergiert dann (Multiplikation mit ${}-w^{-2}$ ) auch ${}\sum _{n\geq 2}-c_{-n}w^{n-2}$ . Dazu ist aber ${}\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}w^{n-1}$ eine Stammfunktion, die nach Fakt konvergiert.