Hilbert-Samuel-Multiplizität/Modul/Limesbeschreibung/Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul der Dimension ${}d$. Zeige, dass der Limes

$\lim _{n\rightarrow \infty }d!{\frac {\dim _{R/{\mathfrak {m}}}{\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}}{n^{d}}}$

existiert und mit der Hilbert-Samuel-Multiplizität

von ${}M$ übereinstimmt.

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