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Hilbertscher Nullstellensatz/Algebraisch/Z/Endlicher Körper/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung

die ebenfalls vom endlichen Typ ist. Das Urbild ist ein Primideal in , also gleich oder gleich mit einer Primzahl . Im ersten Fall würde man eine Faktorisierung

haben. Nach dem Hilbertscher Nullstellensatz ist endlich über und nach Fakt wäre dann auch endlich erzeugt über , was aber nicht der Fall ist. Der erste Fall ist also ausgeschlossen. Es liegt also der zweite Fall vor, und man hat eine Faktorisierung

Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist somit endlich über dem endlichen Körper und damit selbst endlich.