Hilbertscher Nullstellensatz/Algebraisch/Z/Endlicher Körper/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung

$\mathbb{Z}\stackrel{\phi }{⟶}A⟶A/𝔪=L,$

die ebenfalls vom endlichen Typ ist. Das Urbild ${\phi }^{-1}(𝔪)$ ist ein Primideal in $\mathbb{Z}$, also gleich $(0)$ oder gleich $(p)$ mit einer Primzahl $p$. Im ersten Fall würde man eine Faktorisierung

$\mathbb{Z}⟶\mathbb{Q}⟶L$

haben. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist $L$ endlich über $\mathbb{Q}$ und nach Fakt wäre dann $\mathbb{Q}$ auch endlich erzeugt über $\mathbb{Z}$, was aber nicht der Fall ist. Der erste Fall ist also ausgeschlossen. Es liegt also der zweite Fall vor, und man hat eine Faktorisierung

$\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(p)⟶L.$

Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist somit $L$ endlich über dem endlichen Körper $\mathbb{Z}/(p)$ und damit selbst endlich.

Zur gelösten Aufgabe