Holomorphe Differentialform/C/Integralüberlagerung/Konstruktion

Es sei $G \subseteq ℂ$ eine offene Menge und sei $ω = f d z$ eine holomorphe Differentialform auf $G$ mit einer holomorphen Funktion $f : G \to ℂ$ . Für jeden Punkt $P \in G$ gibt es eine offene Umgebung $P \in U \subseteq G$ (beispielsweise einen offenen Ball) derart, dass die Einschränkung von $ω$ auf $U$ eine Stammfunktion besitzt, siehe Fakt. Wir betrachten

G_{ω} = G \times ℂ,

zusammen mit der Projektion nach $G$ , und wir werden auf $G \times ℂ$ eine Topologie derart definieren, dass diese Projektion eine Überlagerung wird. Wir betrachten die Teilmengen

Γ (U, F) = {(P, F (P)) ∣ P \in U},

wobei $U \subseteq G$ eine offene Teilmenge und $F$ eine Stammfunktion zu $ω$ auf $U$ ist. Es handelt sich also um den Graphen einer lokalen Stammfunktion. Wenn $U$ zusammenhängend ist, so unterscheiden sich die $Γ (U, F)$ untereinander um eine Kontante aus $ℂ$ , da sich ja Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden.

Wir legen nun eine Topologie auf $G_{ω}$ dadurch fest, dass wir beliebige Vereinigungen von solchen Mengen $Γ (U, F)$ als offen erklären, die $Γ (U, F)$ bilden also eine Basis der Topologie. Man beachte hierzu, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung solcher Mengen ist. Sei hierzu $(P, y) \in Γ (U, F) \cap Γ (V, G)$ . Dann ist $P \in U \cap V$ und dann gibt es auch einen offenen Ball $P \in W \subseteq U \cap V$ . Wegen

y = F (P) = G (P)

gilt überhaupt

F |_{W} = G |_{W} .

Für jeden Punkt im Durchschnitt gibt es also auch eine offene Umgebung der beschriebenen Form. Für jede offene Menge $U \subseteq G$ , auf der $ω$ eine Stammfunktion besitzt, ist nun die eingeschränkte Projektion

p^{- 1} (U) ≅ U_{ω} ⟶ U

eine triviale Überlagerung, die einfach aus einer disjunkten Vereinigung von Kopien von $U$ besteht, und zwar eine für jedes $y \in ℂ$ . Daher ist $G_{ω}$ eine Überlagerung von $G$ , man nennt sie die Integralüberlagerung zu $ω$ .