Holomorphe Differentialform/C/Integralüberlagerung/Konstruktion

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge und sei ${}\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}G$ mit einer holomorphen Funktion ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$. Für jeden Punkt ${}P\in G$ gibt es eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq G$ (beispielsweise einen offenen Ball) derart, dass die Einschränkung von ${}\omega$ auf ${}U$ eine Stammfunktion besitzt, siehe Fakt. Wir betrachten

${}G_{\omega }=G\times {\mathbb {C} }\,,$

zusammen mit der Projektion nach ${}G$, und wir werden auf ${}G\times {\mathbb {C} }$ eine Topologie derart definieren, dass diese Projektion eine Überlagerung wird. Wir betrachten die Teilmengen

${}\Gamma (U,F)={\left\{(P,F(P))\mid P\in U\right\}}\,,$

wobei ${}U\subseteq G$ eine offene Teilmenge und ${}F$ eine Stammfunktion zu ${}\omega$ auf ${}U$ ist. Es handelt sich also um den Graphen einer lokalen Stammfunktion. Wenn ${}U$ zusammenhängend ist, so unterscheiden sich die ${}\Gamma (U,F)$ untereinander um eine Kontante aus ${}{\mathbb {C} }$, da sich ja Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden.

Wir legen nun eine Topologie auf ${}G_{\omega }$ dadurch fest, dass wir beliebige Vereinigungen von solchen Mengen ${}\Gamma (U,F)$ als offen erklären, die ${}\Gamma (U,F)$ bilden also eine Basis der Topologie. Man beachte hierzu, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung solcher Mengen ist. Sei hierzu ${}(P,y)\in \Gamma (U,F)\cap \Gamma (V,G)$. Dann ist ${}P\in U\cap V$ und dann gibt es auch einen offenen Ball ${}P\in W\subseteq U\cap V$. Wegen

${}y=F(P)=G(P)\,$

gilt überhaupt

${}F{|}_{W}=G{|}_{W}\,.$

Für jeden Punkt im Durchschnitt gibt es also auch eine offene Umgebung der beschriebenen Form. Für jede offene Menge ${}U\subseteq G$, auf der ${}\omega$ eine Stammfunktion besitzt, ist nun die eingeschränkte Projektion

$p^{-1}(U)\cong U_{\omega }\longrightarrow U$

eine triviale Überlagerung, die einfach aus einer disjunkten Vereinigung von Kopien von ${}U$ besteht, und zwar eine für jedes ${}y\in {\mathbb {C} }$. Daher ist ${}G_{\omega }$ eine Überlagerung von ${}G$, man nennt sie die Integralüberlagerung zu ${}\omega$.