Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Integralüberlagerung/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}\gamma ([a,b])$ kompakt und daher gibt es eine endliche Überdeckung mit offenen Bällen ${}U_{i}$, auf denen ${}\omega$ eine Stammform besitzt, und Unterteilungspunkte

${}a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b\,$

derart, dass

${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{i}\,$

in einem offenen Ball ${}U_{i}$ liegt. Mit einer Stammform ${}F_{i}$ zu ${}\omega {|}_{U_{i}}$ und ${}\gamma _{i}=\gamma {|}_{[t_{i-1},t_{i}]}$ ist nach Fakt

${}\int _{\gamma _{i}}\omega =F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\,.$

Die (Teil-)Liftung ${}{\tilde {\gamma }}_{i}$ besitzt die Form

${}{\tilde {\gamma }}_{i}(t)=(\gamma _{i}(t),F_{i}(\gamma (t))+c)\,$

mit einem ${}c\in {\mathbb {C} }$. Somit ist

${}{\begin{aligned}F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i-1}\right)}\right)}&=F_{i}(\gamma (t_{i}))+c-{\left(F_{i}(\gamma (t_{i-1}))+c\right)}\\&=F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\\&=\int _{\gamma _{i}}\omega .\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{i=1}^{n}\int _{\gamma _{i}}\omega \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i-1}\right)}\right)}\right)}\\&=F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{n}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{0}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage